Подобные заявление составляются в порядке частных обвинений. Это означает, что чётких требований к составлению нет и быть не может. Пишите его в свободной форме. Направляете мировому судье.
(По ссылке расположен примерный образец искового заявления в суд о нанесении побоев)
Учитывайте, что если в результате побоев был причинён хоть малейший вред здоровью, то писать заявление желательно уже по статье 115 УК РФ “об умышленном нанесении лёгкого вреда”.

В чём разница? В наказании. За побои обидчик сядет на 3 месяца, а за вред здоровью — на 2 года (если получится доказать его хулиганские побуждения)
Что необходимо для возбуждения дела?
Полиция должна была направить вас на судебно-медицинскую экспертизу. Одна лишь выписка из травмпункта поможет вряд ли. Если в силу определённых причин вы не можете сами защищать себя в суде (инвалидность, и т.п.) — дело передаётся полиции.